Logseq/Major Study/pages/5.2 행렬식의 계산과 응용.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 단계 지도: 15단계에서 행렬식의 성질들을 정리하고, 68단계에서 두 가지 응용(크레이머 규칙, A^{-1} 공식)과 세 번째 계산법(큰 공식)을 완성한다.
    • [1단계] 요약: 이 절의 다섯 가지 사실
    • [2단계] 유용한 성질 4가지 (식 1~4)
    • [3단계] 모든 성질의 뿌리: 기본 성질 ❶❷❸ (식 5)
    • [4단계] 소거는 행렬식을 바꾸지 않는다 (식 6·7)
    • [5단계] det(AB) = (detA)(detB) 증명
    • [6단계] 크레이머 규칙 (식 8~11)
    • [7단계] A⁻¹의 공식 (식 12)
    • [8단계] 행렬식에 대한 큰 공식 (식 13)

  • [1단계] 요약: 이 절의 다섯 가지 사실

    • 책 첫머리의 요약 박스가 이 절의 목차 역할을 한다:
      • ① 유용한 사실: \det A^{\mathrm{T}} = \det A, \det AB = (\det A)(\det B), |\det Q| = 1
      • ② 소거행렬 E 의 행렬식은 \det E = 1, 따라서 \det EA = \det A (소거는 행렬식을 바꾸지 않는다)
      • ③ 크레이머 규칙: 행렬식의 비율로 x = A^{-1}b 를 구한다 (느린 방법)
      • ④ \det A = \pm (피벗들의 곱) (훨씬 빠른 방법)
      • ⑤ 큰 공식(big formula): n! 개의 치환행렬로부터 얻는 n! 개의 항 (n > 3 이면 매우 느린 방법)
    • 출발점은 5.1의 핵심 판정이다. 행렬식 하나로 가역/특이가 갈린다:
      • 📌 원문 가역행렬 판정 (p.289): ((6a9439f3-8c77-4ce4-bf40-de233cd12495))
      • 📌 원문 특이행렬 판정 (p.289): ((6a943a00-fc7a-40ae-8856-7a6371a40c25))
    • 💡 선행 개념 수위 조절: 첫 문단에 설명 없이 등장하는 고윳값(eigenvalue) \lambda 는 6장의 주인공이다. 지금은 다음 흐름만 받아들이면 충분하다.
      • Ax = \lambda x 를 만족하는 특별한 수 \lambda 를 찾고 싶다. 식을 옮기면 (A - \lambda I)x = 0 이고, x \neq 0 인 해가 필요하다.
      • 어떤 행렬에 대해 x \neq 0 인 해가 존재하려면 그 행렬이 특이행렬이어야 했다 (3장의 영공간 이야기). 그러므로 조건은 "A - \lambda I 가 특이행렬"이다.
      • "특이행렬인가?"를 수 하나로 판정하는 도구가 행렬식이다. 그래서 \lambda 에 관한 방정식 \det(A - \lambda I) = 0 이 등장한다.
      • 즉 이 문단은 "행렬식이 6장의 핵심 도구가 된다"는 예고편이다. 지금 \lambda 를 구하는 방법까지 알 필요는 없다 (6장에서 제대로 배운다).
      • 📌 원문 고윳값 방정식 (p.289): ((6a943a60-ddf1-47f7-93fb-85ab1f858a28))

  • [2단계] 유용한 성질 4가지

    • 성질 (1): 삼각행렬과 대각행렬은 주대각성분만 곱하면 끝
      • 📌 원문 (p.289): ((6a943a8d-513d-4a41-842f-dc51c4309ade))
      • 📌 원문 식 (1) (p.289): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 🔢 이유를 상삼각행렬로 확인: 1열로 여인수 전개하면 1열에 a 하나뿐이라 항이 하나만 살아남고, 남은 행렬도 다시 삼각행렬이라 같은 일이 반복된다.
        • \det\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & q & r \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} = a \cdot \det\begin{bmatrix} q & r \\ 0 & z \end{bmatrix} = a \cdot qz
    • 성질 (2): 전치해도 행렬식은 그대로
      • 📌 원문 식 (2) (p.289): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 💡 이 성질 덕분에 "행에 대한 규칙"이 전부 "열에 대한 규칙"으로도 성립한다 (행 교환 ↔ 열 교환, 행 선형성 ↔ 열 선형성).
        • 5.1에서 "두 열을 교환해도 부호가 바뀐다"고 괄호로 덧붙였던 근거가 바로 이것이다.
    • 성질 (3): 곱의 행렬식은 행렬식의 곱 (증명은 5단계에서)
      • 📌 원문 식 (3) (p.289): 🔗 PDF 위치
      • 
      • ⚠️ 합에는 이런 규칙이 없다: \det(A + B) \neq \det A + \det B.
        • 반례: I + I = 2I 의 행렬식은 2 가 아니라 2^n 이다 (행 n 개가 각각 2배).
    • 직교행렬: 행렬식은 1 또는 −1
      • 📌 원문 (p.289): ((6a943ace-dea6-4c62-bf04-eb09243c01ef))
      • 유도: Q^{\mathrm{T}}Q = I 에 성질 (2)와 (3)을 적용한다.
        • (\det Q^{\mathrm{T}})(\det Q) = \det I = 1
        • \det Q^{\mathrm{T}} = \det Q 이므로 (\det Q)^2 = 1, 즉 \det Q = \pm 1.
      • 💡 기하 감각: 직교행렬은 회전·반사처럼 길이를 보존하는 변환이라 "부피 배율"이 1일 수밖에 없다 (행렬식 = 부피 배율 해석은 5.3에서).
    • 성질 (4): 행렬식 = ±(피벗들의 곱) (실전 계산법)
      • 📌 원문 식 (4) (p.290): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 📌 원문 LU와 행렬식 (p.290): ((6a943b6f-c65a-4e0b-b6e8-afae671d15f7))
      • 📌 원문 PA = LU와 부호 (p.290): ((6a943b74-de8b-439f-80f0-6a3e074bc78b))
      • A = LU 이면: \det A = (\det L)(\det U) = \det U = U_{11}U_{22} \cdots U_{nn}.
        • L 은 주대각이 전부 1인 삼각행렬이라 \det L = 1, U 는 삼각행렬이라 피벗들의 곱 (성질 1).
      • 행 교환이 필요했다면 PA = LU 이고 \det P = \pm 1 이므로, \det A = \pm(\text{피벗들의 곱}) 이 된다.
      • 💡 소거법이 선형대수학을 위한 거의 모든 컴퓨터 시스템의 행렬식 계산법이다. 비용은 곱셈 약 n^3/3 번 (2장의 소거 비용 그대로).
        • "왜 소거가 행렬식을 바꾸지 않는지"는 4단계에서 증명한다. 그 증명이 끝나야 이 공식이 완성된다.

  • [3단계] 모든 성질의 뿌리: 기본 성질 ❶❷❸

    • 지금까지 나온 성질들은 전부 다음 3개에서 유도된다. 이 3개가 행렬식의 "공리"다:
      • ❶ 항등행렬: \det I = 1
      • ❷ 행 교환: 두 행을 교환하면 \det A 는 -\det A 로 부호가 바뀐다
      • ❸ 선형성: 1행이 cv + dw 이면 행렬식도 두 행렬식의 선형결합으로 쪼개진다 (식 5). 나머지 행은 그대로 둔 채 1행에 대해서만.
      • 📌 원문 기본 성질 ❶❷❸과 식 (5) (p.290): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 💡 왜 "1행"만 말하나: 성질 ❷로 아무 행이나 1행 자리로 데려올 수 있으므로 사실상 모든 행에 대해 선형이다 (책의 표현: "1행이 특별한 것은 아니다").
    • 💡 유일성 (5단계에서 쓸 핵심 무기): 성질 ❶❷❸만 있으면 어떤 행렬이든 행렬식 값이 완전히 결정된다.
      • 이유: 행 빼기(❸에서 유도, 4단계)와 행 교환(❷)만으로 임의의 행렬을 삼각행렬로 만들 수 있고, 삼각행렬의 값은 ❶과 ❸이 결정하기 때문.
      • 따라서 ❶❷❸을 모두 만족하는 함수는 행렬식 딱 하나뿐이다. 어떤 함수가 이 3개를 만족함을 보이면 그 함수는 행렬식이다.
    • ❷에서 바로 나오는 사실: 두 행이 동일하면 행렬식은 0.
      • 📌 원문 (p.290): ((6a943be0-7639-45fc-ae5e-fa811c704e4f))
      • 같은 두 행을 교환하면 행렬은 그대로인데 부호는 바뀌어야 하므로 \det A = -\det A, 즉 \det A = 0.
      • 5.1에서 AC^{\mathrm{T}} 의 비대각성분을 0으로 만든 바로 그 규칙이다.
    • ❸에서 바로 나오는 사실: 한 행에 c 를 곱하면 행렬식도 c 배가 된다.
      • 행렬 전체에 곱하면: \det(cA) = c^n \det A (행이 n 개니까 c 배가 n 번).

  • [4단계] 소거는 행렬식을 바꾸지 않는다 (식 6·7)

    • 🔢 먼저 숫자로 확인:
      • A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} 의 행렬식은 4 - 6 = -2.
      • 소거 한 걸음: 2행에서 1행의 3배를 빼면 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, 행렬식은 1 \times (-2) = -2. 그대로다.
    • "빼기를 했는데 왜 값이 안 변할까"라는 의문이 자연스럽다. 선형성 ❸으로 쪼개면 답이 보인다:
      • 소거 후의 2행은 (3, 4) - 3 \cdot (1, 2) 라는 선형결합이다. 2행에 대한 선형성으로 두 행렬식으로 분리하면:
      • \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 4 - 3 \cdot 2 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - 3 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}
      • 뒤 행렬식은 1행과 2행이 같으므로 0 (3단계의 "같은 행 2개" 규칙).
      • 남는 것은 \det A - 3 \cdot 0 = \det A. 이것이 전부다.
    • 일반형이 식 (6)이다: j 행에서 i 행에 d 를 곱한 것을 빼도 \det A 는 변하지 않는다.
      • 📌 원문 (p.291): ((6a943c8c-83fb-4053-afa3-f1a2b63d5179))
      • 📌 원문 식 (6) (p.291): 🔗 PDF 위치
      • 
      • 말로 풀면: 빼낸 부분은 "j 행 자리에 i 행이 한 번 더 들어간 행렬"의 행렬식 d 배로 떨어져 나가는데, 그 행렬은 같은 행이 2개라서 행렬식이 0이다.
    • ⚠️ 흔한 오해 교정: "한 행에 d 를 곱하면 행렬식도 d 배가 된다면서(❸), 왜 d 배를 빼는 건 괜찮은가?"라고 생각하기 쉽지만 둘은 다른 연산이다.
      • j 행 자체에 d 를 곱하면: 행렬식도 d 배가 된다.
      • j 행에서 다른 행(i 행)의 d 배를 빼면: 그 부분이 "같은 행 2개" 행렬식으로 분리되어 0으로 사라진다. 그래서 불변.
    • 결론: (행 교환이 없는) 소거 과정 전체가 행렬식을 보존한다. 그래서 식 (7), 즉 성질 (4)가 증명된다.
      • 📌 원문 (p.291): ((6a943cf9-6d55-4024-ba3b-d3a3996e7755))
      • 📌 원문 식 (7) (p.291): 🔗 PDF 위치
      • 
      • A \to U 로 가는 동안 행렬식은 한 번도 변하지 않았고, 도착한 U 는 삼각행렬이라 피벗들의 곱이다.

  • [5단계] det(AB) = (detA)(detB) 증명

    • 증명 전략부터: 양변을 각각 전개해서 비교하는 것이 아니다. 3단계의 유일성, 즉 "성질 ❶❷❸을 모두 만족하는 함수는 행렬식뿐"을 무기로 쓴다.
      • [1수] B 를 고정하고 (\det B \neq 0 가정), A 에 대한 함수를 하나 만든다:
        • D(A) = \frac{\det AB}{\det B}
      • [2수] 이 D 가 성질 ❶❷❸을 전부 만족함을 확인한다.
      • [3수] 유일성에 의해 D(A) = \det A. 분모를 넘기면 \det AB = (\det A)(\det B). 끝.
      • 📌 원문 증명 전략 (p.291): ((6a94462d-4af3-413d-b22b-6911e58b9b2c))
    • [2수]의 확인을 하나씩 뜯어보면:
      • ❶ 확인: A = I 이면 AB = B 이므로 D(I) = \det B / \det B = 1. 통과.
      • ❷ 확인: A 의 두 행을 교환하면 AB 의 같은 두 행이 교환된다.
        • 왜냐하면 AB 의 i 행은 (A 의 i 행) \times B 이기 때문이다 (행렬 곱은 행 단위로 작동, 2장). A 의 행 순서를 바꾸면 결과의 행 순서도 똑같이 바뀐다.
        • AB 의 두 행이 교환되면 \det AB 의 부호가 바뀌고, 분모 \det B 는 그대로이므로 D(A) 의 부호도 바뀐다. 통과.
      • ❸ 확인: A 의 1행에 c 를 곱하면 AB 의 1행도 c 배가 된다. A 의 1행이 v + w 이면 AB 의 1행은 vB + wB 다.
        • 그러면 식 (5)가 \det(AB) 를 두 행렬식으로 분해해 주므로 D 도 1행에 대해 선형이다. 통과.
      • 📌 원문 ❶❷❸ 확인 (p.291): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 🔢 숫자 검증: A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} (\det = -2), B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} (\det = 6).
      • AB = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 12 \end{bmatrix}, \det AB = 24 - 36 = -12 = (-2)(6). 일치.
    • 남은 구멍 하나: \det B = 0 인 경우는?
      • B 가 특이행렬이면 Bx = 0 인 x \neq 0 이 있고, 그러면 (AB)x = A(Bx) = 0 이므로 AB 도 특이행렬이다.
      • 따라서 양변 모두 0: \det AB = 0 = (\det A) \cdot 0. 곱 규칙은 이 경우에도 성립한다.
    • 💡 이 증명 패턴("후보 함수가 ❶❷❸을 만족함을 확인하면 그 함수는 행렬식이다")은 행렬식 증명의 표준 무기다. 지루한 대수 전개 없이 성질만으로 끝난다.

  • [6단계] 크레이머 규칙

    • 목표: Ax = b 의 해의 각 성분 x_j 를 행렬식들의 비율로 쓰기.
    • 핵심 아이디어는 "정체를 아는 행렬 곱" 하나다. 항등행렬 I 의 1열을 x 로 바꾼 행렬을 M_1 이라 하자.
      • 📌 원문 (p.291): ((6a943dc0-8127-417c-9142-7f364dec2cbc))
      • 🧩 형태 (3 \times 3 기준):
        • A M_1 = A \begin{bmatrix} x_1 & 0 & 0 \\ x_2 & 1 & 0 \\ x_3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = B_1
      • 왜 이렇게 되나 (열별로 확인): AM_1 의 1열은 A x = b (가정). 2열은 A \cdot (0, 1, 0) = A 의 2열. 3열도 A 의 3열 그대로.
      • M_1 의 행렬식: 하삼각행렬이므로 대각 곱, 즉 \det M_1 = x_1 \cdot 1 \cdot 1 = x_1.
      • 📌 원문 식 (8) (p.291): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 식 (8)의 양변에 곱 규칙(5단계)을 적용하면 x_1 이 튀어나온다:
      • (\det A)(\det M_1) = \det B_1 이고 \det M_1 = x_1 이므로 x_1 = \det B_1 / \det A.
      • 📌 원문 식 (9) (p.292): 🔗 PDF 위치
      • 
    • x_2 도 같은 아이디어: I 의 2열을 x 로 바꾼 M_2 를 쓰면 AM_2 = B_2 (A 의 2열이 b 로 바뀐 행렬), \det M_2 = x_2.
      • 📌 원문 식 (10) (p.292): 🔗 PDF 위치
      • 
    • [정리] 크레이머 규칙 (식 11): \det A \neq 0 이면 x_j = \det B_j / \det A.
      • B_j 는 A 의 j 열이 벡터 b 로 대치된 행렬이다.
      • 📌 원문 정리 (p.292): 🔗 PDF 위치
      • 
    • 🔢 예제 EX 1 자세히 (p.292): 3x_1 + 4x_2 = 2, 5x_1 + 6x_2 = 4
      • 📌 원문 EX 1 (p.292): 🔗 PDF 위치
      • 
      • [1] 행렬식 3개 준비:
        • \det A = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = 18 - 20 = -2
        • \det B_1 = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 12 - 16 = -4 (1열을 b = (2, 4) 로 교체)
        • \det B_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 10 = 2 (2열을 b 로 교체)
      • [2] 나누기: x_1 = -4/(-2) = 2, x_2 = 2/(-2) = -1.
      • [3] 검산 (직접 대입): 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 2, 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 4. 둘 다 맞다.
    • ⚠️ 비용: 크레이머 규칙은 아름답지만 느리다.
      • (n+1) 개의 행렬식이 필요하고, 큰 공식 기준으로 각각 n! 개 항이라 전체 (n+1)! 개 항이다 (책의 표현: "방정식을 이런 식으로 푸는 것은 터무니없다").
      • 실전 계산은 소거 (n^3/3). 크레이머 규칙의 진짜 용도는 EX 2처럼 문자가 든 계산과 "해를 공식으로 써야 하는" 이론 전개다.

  • [7단계] A⁻¹의 공식: 여인수로 완성

    • 5.1에서 만든 A^{-1} = C^{\mathrm{T}} / \det A 가 크레이머 규칙에서 다시 유도된다.
    • 🔢 예제 EX 2 자세히 (n = 2, p.293): AA^{-1} = I 를 열별로 읽으면 연립방정식 2개가 된다.
      • A^{-1} 의 두 열을 x, y 라 하면: Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, Ay = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.
      • x 에 크레이머 규칙 (A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}):
        • x_1 = \begin{vmatrix} 1 & b \\ 0 & d \end{vmatrix} / |A| = d / |A|
        • x_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ c & 0 \end{vmatrix} / |A| = -c / |A|
      • y 에 크레이머 규칙:
        • y_1 = \begin{vmatrix} 0 & b \\ 1 & d \end{vmatrix} / |A| = -b / |A|
        • y_2 = \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 1 \end{vmatrix} / |A| = a / |A|
      • 등장한 4개의 값 d, -c, -b, a 는 전부 A 의 여인수다. 5.1의 여인수행렬 C = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix} 그대로:
        • 📌 원문 (p.293): ((6a944666-5084-47c1-b9a8-0960750738ea))
        • A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{C^{\mathrm{T}}}{\det A}
    • 왜 여인수가 나오나: b 가 I 의 열(1 하나, 나머지 0)이면 \det B_j 를 그 1이 있는 열로 여인수 전개할 때 항이 딱 하나만 살아남기 때문이다.
      • 📌 원문 (p.293): ((6a943efb-271f-4733-ab93-21fa9bd6557c))
      • n = 3 확인: Ax = (1, 0, 0) 이면 \det B_1 = C_{11}, \det B_2 = -(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) = C_{12}. 필요한 음수 부호까지 여인수 정의에 자동으로 들어 있다.
    • 일반 공식 (식 12):
      • 📌 원문 (p.293): ((6a943f06-f385-4965-81c1-6706552d7c05))
      • 📌 원문 식 (12) (p.293): 🔗 PDF 위치
      • 
      • ⚠️ 첨자 방향 주의: (A^{-1})_{ij} = C_{ji} / \det A. ij 성분에 C_{ij} 가 아니라 C_{ji} 가 들어간다. C^{\mathrm{T}} 의 전치가 바로 이 뒤집힘이다 (5.1의 ⚠️ 그대로).
    • 💡 5.1과의 연결: 5.1은 항등식 AC^{\mathrm{T}} = (\det A)I 로 이 공식을 얻었고, 여기서는 크레이머 규칙으로 다시 얻었다. 같은 산의 두 등산로다.

  • [8단계] 행렬식에 대한 큰 공식: n!개의 항

    • 지금까지 \det A 계산법 두 가지: 여인수 공식 (5.1, 삼중대각처럼 0이 많을 때 유리), 피벗 공식 (식 7, 실전용). 세 번째가 성분 a_{ij} 들만으로 직접 쓰는 큰 공식이다.
    • 어디서 태어났나: 선형성 ❸으로 각 행을 끝까지 쪼개면 된다. n = 2 로 클라이맥스까지 가보면:
      • 1행 (a, b) 를 (a, 0) + (0, b) 로 쪼개고, 각각에서 2행 (c, d) 를 (c, 0) + (0, d) 로 쪼개면 행렬식 4개가 나온다:
      • \det\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{bmatrix} + \det\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{bmatrix} + \det\begin{bmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{bmatrix} + \det\begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{bmatrix}
      • 1번째와 4번째: 선택한 성분들이 같은 열에 몰려서 0인 열이 생긴다. 행렬식 0.
      • 2번째: 대각행렬이라 +ad. 3번째: 열 교환 한 번이면 대각행렬이 되므로 -bc.
      • 결과는 익숙한 ad - bc. 그리고 살아남는 조각의 조건이 보인다: 각 행에서 하나씩 고른 성분들이 서로 다른 열에 있어야 한다.
    • n \times n 일반: 각 행을 n 조각으로 쪼개면 n^n 개 조각이 나오지만, 열이 겹치는 조각은 전부 0이다.
      • 살아남는 조각: 1행에서 열 하나(n 가지), 2행에서 남은 열(n-1 가지), 계속하면 n! 개.
      • "각 행에서 1개, 각 열에서 1개"라는 선택 패턴은 정확히 치환행렬 P 의 1의 위치다. 그래서 치환행렬이 n! 개인 것과 항이 n! 개인 것이 같은 말이 된다.
    • 치환행렬 하나가 항 D_P 하나를 만든다:
      • 곱: P 의 1 위치에 있는 A 의 성분 n 개를 곱한다 (a_{1\alpha} a_{2\beta} \cdots a_{n\omega}).
      • 부호: \det P = \pm 1 을 인수로 붙인다. P 가 짝수 치환(행 교환 짝수 번으로 I 가 됨)이면 +1, 홀수 치환이면 -1.
    • 큰 공식 (식 13): 행렬식은 이 n! 개 항의 합이다.
      • 📌 원문 식 (13) (p.294): 🔗 PDF 위치
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    • 🔢 n = 3: 치환이 3! = 6 개라 항도 6개다.
      • 📌 원문 6개 항 (p.294): 🔗 PDF 위치
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      • 파랑 3개(짝수 치환)가 +aqz, +brx, +cpy. 빨강 3개(홀수 치환)가 -ary, -bpz, -cqx.
    • 💡 5.1 식 (1)과 동일한 공식이다: 5.1에서 "행 방향 화살표는 +, 역방향은 −"로 기억한 6개 항이 바로 이것.
      • 부호의 진짜 정체는 화살표 방향이 아니라 치환의 짝홀이다. 4 \times 4 부터는 화살표 그림이 통하지 않고 치환의 짝홀만 통한다 (연습문제 16).
    • 💡 여인수 공식과의 관계: 큰 공식에서 1행 성분별로 항을 묶으면 여인수 공식이 나온다.
      • +aqz - ary = a(qz - ry) = aC_{11}
      • +brx - bpz = b(rx - pz) = bC_{12}
      • +cpy - cqx = c(py - qx) = cC_{13}
      • 즉 여인수 C_{1j} 는 "1행에서 a_{1j} 를 고른 모든 치환의 나머지 부분을 모은 것"이다. 여인수 공식, 피벗 공식, 큰 공식은 같은 값을 다르게 조직한 세 가지 방법일 뿐이다.
    • ⚠️ 실용성: n! 은 폭발한다 (10! = 3{,}628{,}800). 큰 공식은 계산용이 아니라 "행렬식이 무엇인지"를 보여주는 이론용이다. 계산은 피벗(식 7)으로.

• ❓ 스스로 점검

  • 3 \times 3 행렬 A 의 행렬식이 5일 때, \det(2A) 는? #card id:: 6a9445f5-4d01-40e3-907f-03b3a48b60bc
    • 40이다.
    • 2A 는 행 3개 각각에 2를 곱한 행렬이므로, 행마다 선형성(❸)이 한 번씩 적용되어 2^3 \times 5.
    • 일반화: \det(cA) = c^n \det A.
  • \det(A + B) = \det A + \det B 는 성립하는가? #card id:: 6a9445f5-54ce-490d-ba1e-fcb6a0dcb789
    • 성립하지 않는다.
    • 행렬식은 행렬 전체에 선형이 아니라 "행 하나씩"에만 선형이다.
    • 반례: I + I = 2I 의 행렬식은 2^n 이지 1 + 1 = 2 가 아니다 (n \geq 2).
  • 직교행렬 Q 의 행렬식이 1 또는 −1인 이유는? #card id:: 6a9445f5-0671-4880-bce0-ed5ea6bce528
    • Q^{\mathrm{T}}Q = I 의 양변에 행렬식을 취하면 (\det Q^{\mathrm{T}})(\det Q) = 1.
    • \det Q^{\mathrm{T}} = \det Q 이므로 (\det Q)^2 = 1.
  • (행 교환이 없는) 소거가 행렬식을 바꾸지 않는 이유를 한 줄로 말하면? #card id:: 6a9445f5-cab9-4eda-83fb-e324cd0d7cfd
    • 행 빼기를 선형성으로 쪼개면 \det A - d \cdot (\text{같은 행 2개인 행렬식}) 인데, 뒤 항이 0이라 \det A 만 남는다.
  • \det(ABC) 는? #card id:: 6a9445f5-9876-45e1-a939-2e52ebbf245d
    • (\det A)(\det B)(\det C).
    • 곱 규칙을 두 번 쓴다: \det(ABC) = \det(AB) \cdot \det C = (\det A)(\det B)(\det C).
  • 크레이머 규칙에서 B_j 는 어떤 행렬이고, 규칙을 쓸 수 있는 조건은? #card id:: 6a9445f5-5dfa-493c-8612-76b1a5d14ee5
    • B_j 는 A 의 j 열을 b 로 바꾼 행렬이다.
    • 조건은 \det A \neq 0 (분모가 되므로).
    • \det A = 0 이면: \det B_j \neq 0 인 것이 하나라도 있으면 해가 없고, 전부 0이면 0/0 부정이다 (연습문제 7).
  • 행렬식의 큰 공식의 항이 정확히 n! 개인 이유는? #card id:: 6a9445f5-762f-4cae-978b-b0e7f2e566d6
    • 각 항은 행마다 성분 1개씩 고르는데, 열이 겹치면 그 조각은 0이라 사라진다.
    • 살아남는 선택은 "각 행에서 1개, 각 열에서 1개", 즉 열의 순열이므로 n! 개다.
  • A^{-1} 공식에서 (A^{-1})_{ij} 에 C_{ij} 가 아니라 C_{ji} 가 들어가는 이유는? #card id:: 6a9445f5-17fc-457a-9018-b0129601b12e
    • A^{-1} = C^{\mathrm{T}} / \det A 이기 때문이다.
    • 전치가 첨자 ij 를 ji 로 뒤집는다.

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 1 (p.294): \det A = 2 일 때 \det(A^{-1}), \det(A^n), \det(A^{\mathrm{T}}) 를 구하라.
    • 🔁 개념 상기: 곱 규칙(식 3)과 전치 규칙(식 2)만으로 끝나는 문제다.
    • 풀이:
      • \det(A^{-1}): AA^{-1} = I 에 곱 규칙을 적용하면 (\det A)(\det A^{-1}) = \det I = 1. 따라서 \det A^{-1} = 1/\det A = 1/2.
      • \det(A^n): 곱 규칙을 반복하면 (\det A)^n = 2^n.
      • \det(A^{\mathrm{T}}): 식 (2)에 의해 \det A = 2 그대로.
    • 검산: n = -1 을 두 번째 답에 넣으면 2^{-1} = 1/2 로 첫 번째 답과 맞물린다.
    • 핵심 문장: \det(A^{-1}) = 1/\det A, \det(A^n) = (\det A)^n, \det(A^{\mathrm{T}}) = \det A.
  • 문제 2 (p.294): 행렬 A, B, C, D 의 행렬식을 구하라. 이 행렬들의 열들은 선형독립인가?
    • A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}
    • 🔁 개념 상기: 판정 하나면 된다. \det \neq 0 이면 열들이 선형독립, \det = 0 이면 종속. 블록대각행렬은 블록별 행렬식의 곱이다.
    • 풀이:
      • \det A: 1행 여인수 전개로 1 \cdot (0 - 1) - 1 \cdot (1 - 0) + 0 = -2. 0이 아니므로 열들은 선형독립.
      • \det B: 2행에서 1행을 빼면 (3, 3, 3), 3행에서 2행을 빼면 역시 (3, 3, 3). 같은 행이 2개가 되므로 \det B = 0. 열들은 선형종속.
      • \det C: 블록대각이므로 (\det A)(\det A) = (-2)^2 = 4 \neq 0. 선형독립.
        • 블록대각의 행렬식이 곱이 되는 이유: 소거가 두 블록 안에서 따로 진행되어 피벗 목록이 "A 의 피벗들 두 벌"이 되기 때문.
      • \det D: 같은 이유로 (\det A)(\det B) = (-2) \cdot 0 = 0. 선형종속 (B 부분의 종속 관계가 D 안에서 그대로 산다).
    • ⚠️ 해답집 주의: 해답집은 \det C = -1 로 되어 있는데, 원서의 C 가 한국어판과 다른 행렬로 보인다. 한국어판에 인쇄된 C = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & A \end{bmatrix} 기준 정답은 4다 (5.1 문제 6과 같은 유형의 판본 불일치).
    • 핵심 문장: \det\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix} = (\det A)(\det B), 그리고 \det = 0 판정이 곧 열의 종속 판정이다.
  • 문제 3 (p.295): x 로 표기한 5개의 수와 상관없이 \det A = 0 임을 보여라. 1행에 대한 여인수는? 랭크는? 6개 항은?
    • A = \begin{bmatrix} x & x & x \\ 0 & 0 & x \\ 0 & 0 & x \end{bmatrix}
    • 🔁 개념 상기: 같은 결론(\det = 0)을 세 가지 도구(여인수 공식, 같은 행/랭크, 큰 공식)로 확인하는 문제다.
    • 풀이 ① 여인수 공식: 1행의 여인수 3개가 전부 0이다.
      • C_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & x \\ 0 & x \end{vmatrix} = 0 (1열이 0), C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & x \\ 0 & x \end{vmatrix} = 0, C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0.
      • 따라서 \det A = x C_{11} + x C_{12} + x C_{13} = 0. 1행에 무엇이 있어도 0이다.
    • 풀이 ② 랭크: 2행과 3행이 (0, 0, x) 로 동일하다. 같은 행이 2개면 행렬식 0. 랭크로 말하면 서로 다른 행이 최대 2개라 랭크 \leq 2 < 3.
    • 풀이 ③ 큰 공식: 각 항은 2행과 3행에서 서로 다른 열을 골라야 하는데, 두 행의 0 아닌 성분은 3열에만 있다. 어떤 항이든 0 인수를 포함하므로 6개 항 전부 0이다.
    • 관찰 (해답집): 소거 관점으로는 "2열에 피벗이 없다"가 같은 이야기다.
    • 핵심 문장: 행렬식이 0인 것은 한 가지 사실의 세 얼굴이다: 여인수 전부 0, 같은 행 2개(랭크 부족), 모든 항에 0 인수.
  • 문제 5 (p.295): 크레이머 규칙 x_j = \det B_j / \det A 로 다음을 풀어라.
    • 🔁 개념 상기: B_j 는 A 의 j 열을 b 로 바꾼 행렬. 행렬식 (n+1) 개를 만들고 나누면 끝.
    • (a) 2x_1 + 5x_2 = 1, x_1 + 4x_2 = 2:
      • \det A = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 5 = 3
      • \det B_1 = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 10 = -6, \det B_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3
      • x_1 = -6/3 = -2, x_2 = 3/3 = 1.
      • 검산: 2(-2) + 5(1) = 1, (-2) + 4(1) = 2. 일치.
    • (b) 2x_1 + x_2 = 1, x_1 + 2x_2 + x_3 = 0, x_2 + 2x_3 = 0:
      • \det A = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4 - 1) - 1(2 - 0) + 0 = 4
      • \det B_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (4 - 1) = 3 (1열 전개)
      • \det B_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(0 - 1) = -2 (3행 전개)
      • \det B_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 (3열 전개, 부호 (-1)^{1+3} = +)
      • x_1 = 3/4, x_2 = -2/4 = -1/2, x_3 = 1/4.
      • 검산: 2(3/4) + (-1/2) = 1, 3/4 + 2(-1/2) + 1/4 = 0, (-1/2) + 2(1/4) = 0. 모두 일치 (해답집 일치).
    • 핵심 문장: 크레이머 규칙 사용법은 "j 열을 b 로 갈아끼운 행렬식을 \det A 로 나눈다" 하나뿐이다.
  • 문제 7 (p.295): \det A = 0 이면 크레이머 규칙을 쓸 수 없다. (a)는 해가 없고 (b)는 해가 무수히 많다. 각 경우 x_j = \det B_j / \det A 는 무엇인가?
    • 🔁 개념 상기: 크레이머 규칙의 전제는 \det A \neq 0. 전제가 무너질 때 "어떻게 실패하는지"가 해의 상황을 그대로 보여준다.
    • (a) 2x_1 + 3x_2 = 1, 4x_1 + 6x_2 = 1 (평행한 직선):
      • \det A = 12 - 12 = 0, \det B_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \end{vmatrix} = 3, \det B_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = -2
      • x_1 = 3/0, x_2 = -2/0: 정의되지 않는다. 해 없음과 대응.
    • (b) 2x_1 + 3x_2 = 1, 4x_1 + 6x_2 = 2 (동일한 직선):
      • \det B_1 = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 0, \det B_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = 0
      • x_1 = x_2 = 0/0: 부정. 해가 무수히 많음과 대응.
    • 💡 "0 아닌 수를 0으로 나눔 = 모순(해 없음)", "0/0 = 정보 없음(해 무한)". 실패하는 모양조차 해의 개수를 알려준다.
    • 핵심 문장: \det A = 0 일 때 \det B_j \neq 0 이 있으면 해 없음, 전부 0이면 부정(해 무한).
  • 문제 10 (p.296): 대각선 3개가 1, 1, 1인 n \times n 삼중대각행렬 E_n 에 대해 E_n = E_{n-1} - E_{n-2} 임을 보이고, E_1 = 1, E_2 = 0 에서 E_3, \ldots, E_8 을 구한 뒤 규칙을 관찰해 E_{100} 을 구하라.
    • 🔁 개념 상기: 5.1 문제 13(−1, 2, −1 행렬)과 똑같은 "1행 여인수 전개로 점화식 만들기" 패턴이다.
    • [1] 점화식 유도 (1행 전개):
      • a_{11} = 1 의 여인수: 1행 1열을 지우면 크기 n-1 의 같은 삼중대각행렬. 기여 +1 \cdot E_{n-1}.
      • a_{12} = 1 의 여인수: 부호 (-1)^{1+2} = -1. 1행 2열을 지운 행렬의 1열은 (1, 0, \ldots, 0) 이므로 1열 전개하면 E_{n-2} 만 남는다. 기여 -1 \cdot 1 \cdot E_{n-2}.
      • 따라서 E_n = E_{n-1} - E_{n-2}.
    • [2] 수열 계산:
      • E_1 = 1, E_2 = 0
      • E_3 = 0 - 1 = -1, E_4 = -1 - 0 = -1, E_5 = -1 - (-1) = 0, E_6 = 0 - (-1) = 1
      • E_7 = 1 - 0 = 1 = E_1, E_8 = 1 - 1 = 0 = E_2
    • [3] 규칙: 1, 0, -1, -1, 0, 1 이 주기 6으로 반복된다.
      • E_7 = E_1, E_8 = E_2 이고 점화식이 직전 두 항만 보므로, 이후 전체가 그대로 반복된다: E_{n+6} = E_n.
    • [4] E_{100}: 100 = 6 \times 16 + 4 이므로 E_{100} = E_4 = -1 (해답집 일치).
    • 검산: E_3 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-1) - 1(1-0) + 0 = -1. 점화식 값과 일치.
    • 💡 5.1의 −1, 2, −1 행렬은 \det A_n = n + 1 로 커져 갔는데, 1, 1, 1 행렬은 주기 6으로 맴돈다. 점화식의 부호 하나가 운명을 가른다.
    • 핵심 문장: 1, 1, 1 삼중대각행렬식은 E_n = E_{n-1} - E_{n-2} 를 따르며 1, 0, -1, -1, 0, 1 주기 6으로 반복된다.
  • 문제 13 (p.296): 행렬 A 를 U 로 소거한 뒤 피벗의 곱으로 \det A 를 구하라.
    • 🔁 개념 상기: 식 (7). 행 교환 없이 소거했다면 행렬식은 그대로이므로 피벗만 곱하면 된다.
    • (a) A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}:
      • 소거: 2행 - 1행, 3행 - 1행 \to 2행 (0, 1, 1), 3행 (0, 1, 2). 다시 3행 - 2행 \to (0, 0, 1).
      • U = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, 피벗 1, 1, 1. 따라서 \det A = 1.
      • 검산 (여인수): 1(6-4) - 1(3-2) + 1(2-2) = 2 - 1 + 0 = 1. 일치.
    • (b) A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}:
      • 소거: 2행 - 2 \times 1행 \to (0, -2, -3), 3행 - 3 \times 1행 \to (0, -3, -6). 다시 3행 - \frac{3}{2} \times 2행 \to (0, 0, -\frac{3}{2}).
      • 피벗 1, -2, -\frac{3}{2}. 따라서 \det A = 1 \times (-2) \times (-\frac{3}{2}) = 3.
      • 검산 (여인수): 1(6-9) - 2(6-9) + 3(6-6) = -3 + 6 + 0 = 3. 일치.
    • 💡 분수 피벗이 나와도 곱하면 깔끔한 값이 된다. 행 교환을 했다면 교환 횟수만큼 -1 을 곱해야 한다는 것만 기억.
    • 핵심 문장: 행 교환이 없으면 \det A = 피벗들의 곱, 행 교환이 있으면 \pm 이 붙는다.
  • 문제 16 (p.296): 4 \times 4 큰 공식의 항 \pm a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}, \pm a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, \pm a_{11}a_{22}a_{34}a_{43} 에 대해 \det P 가 +1 인지 -1 인지 결정하라.
    • 🔁 개념 상기: 항 a_{1j_1}a_{2j_2}a_{3j_3}a_{4j_4} 의 부호는 열 첨자 순서 (j_1, j_2, j_3, j_4) 를 (1, 2, 3, 4) 로 만드는 데 필요한 교환 횟수의 짝홀이다.
    • (a) a_{12}a_{21}a_{34}a_{43}: 열 순서 (2, 1, 4, 3).
      • 2 \leftrightarrow 1, 4 \leftrightarrow 3 교환 2번 (짝수). \det P = +1.
    • (b) a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}: 열 순서 (3, 2, 1, 4).
      • 3 \leftrightarrow 1 교환 1번 (홀수). \det P = -1.
    • (c) a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}: 열 순서 (1, 2, 4, 3).
      • 4 \leftrightarrow 3 교환 1번 (홀수). \det P = -1.
    • 검산: 교환 순서를 다르게 잡아도 횟수의 짝홀은 변하지 않는다 (예: (a)를 4번 교환으로 정렬해도 짝수). 해답집 일치.
    • 핵심 문장: 큰 공식 항의 부호 = 열 첨자 순열을 정렬하는 교환 횟수가 짝수면 +, 홀수면 -.