Logseq/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

• 핵심 개념

  • 이 절의 목표: 3장의 대단원. 행렬 하나가 거느리는 부분공간이 정확히 4개 있고, 랭크 r 하나가 네 공간의 차원을 전부 결정한다는 것, 선형대수학의 기본정리 1. 새 계산법은 없다. 이미 아는 소거 결과(R_0)에서 네 공간을 읽어내는 절이다.
    • 📌 원문 (3.5 서두 박스: 차원과 소거 불변성, p.190): 🔗 PDF 위치
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  • [1단계] 출연진 소개, 4가지 기본 부분공간 🧩

    • 공간	정의	사는 곳	차원
      ❶ 행공간 \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})	행들의 모든 선형결합	\mathbb{R}^n	r
      ❷ 열공간 \mathbf{C}(A)	열들의 모든 선형결합	\mathbb{R}^m	r
      ❸ 영공간 \mathbf{N}(A)	Ax = 0 의 해 전체	\mathbb{R}^n	n - r
      ❹ 좌영공간 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})	A^{\mathrm{T}}y = 0 의 해 전체	\mathbb{R}^m	m - r

    • 💡 기억법: n 의 세계(입력·미지수)에 행공간과 영공간이 살고, m 의 세계(출력·우변)에 열공간과 좌영공간이 산다. 각 세계에서 두 공간의 차원을 더하면 세계 전체 차원이 된다:
      • r + (n - r) = n \qquad r + (m - r) = m \qquad \text{(카운팅 정리)}
    • 왜 "좌"영공간인가: A^{\mathrm{T}}y = 0 을 전치하면 y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}, y 가 A 의 왼쪽에서 곱해지는 영공간이라서.
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      • (p.193, 그림 3.4, 이 "큰 그림"은 4장에서 직교성까지 추가되어 완성된다)
  • [2단계] R_0 에서 네 공간 읽어내기: 구체 예제 하나로 전부 (3 \times 5, 랭크 2)
    • R_0 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&3&5&\mathbf{0}&7 \\ 0&0&0&\mathbf{1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \qquad \text{피벗 행: 1, 2행 / 피벗 열: 1, 4열}
    • ❶ 행공간 (차원 2): 기저 = 영행이 아닌 두 행 (1,3,5,0,7), (0,0,0,1,2). 피벗 위치만 보면 I 가 보이므로 이 두 행은 독립이고, 3행(영행)은 아무 기여가 없다.
    • ❷ 열공간 (차원 2): 기저 = 피벗 열 1열 (1,0,0) 과 4열 (0,1,0). 나머지 (자유) 열은 전부 피벗 열의 결합: 2열 = 3×(1열), 3열 = 5×(1열), 5열 = 7×(1열) + 2×(4열).
    • ❸ 영공간 (차원 n - r = 3): 기저 = 자유변수 x_2, x_3, x_5 의 특별해 3개:
      • s_2 = (-3,1,0,0,0), \quad s_3 = (-5,0,1,0,0), \quad s_5 = (-7,0,0,-2,1)
    • ❹ 좌영공간 (차원 m - r = 1): R_0^{\mathrm{T}}y = 0 → 처음 두 성분은 0이어야 하고 y_3 은 자유 → 기저 (0, 0, 1). 💡 직관: R_0 의 영행 개수만큼 "행들의 결합으로 0을 만드는 방법"이 있다.
  • [3단계] A 로 돌아오기, 무엇이 보존되고 무엇이 변하는가 (⚠️ 이 절 최대의 함정)
    • 소거(A \to R_0)는 행 연산이다. 그 결과:
      • 행공간: 그대로다. 행 연산 = 행들의 결합이므로 행들이 만드는 공간 자체는 불변. 기저는 R_0 의 영행 아닌 r 개 행 (또는 A 에서 피벗 행 위치의 행들).
      • 영공간: 그대로다. 소거는 Ax=0 의 해를 안 바꾼다 (3.2절). 기저 = 특별해들.
      • ⚠️ 열공간: 달라진다! "A 와 R_0 는 동일한 열공간을 갖는다"는 거짓: R_0 의 열은 아래쪽이 0으로 찌그러졌지만 A 의 열은 아니다. 🔢 위 예의 원본 A 에 3행 (1,3,5,1,9) 가 있었다면 \mathbf{C}(A) 는 3번째 성분이 0이 아닌 벡터를 포함하지만 \mathbf{C}(R_0) 는 아니다.
      • 그러나 차원은 같다 (= r): 열들 사이의 선형관계(Ax = 0 ⟺ R_0 x = 0)가 보존되므로, "어느 열이 독립인가"는 동일 → A 의 피벗 열(원본!)이 \mathbf{C}(A) 의 기저.
      • 좌영공간도 달라진다 (차원 m - r 은 동일). 기저를 원하면: [\,A\ \ I\,] 를 [\,R_0\ \ E\,] 로 소거했을 때 E 의 마지막 (m-r) 개 행 ("어떤 행 결합이 영행을 만들었는지"의 기록).
    • 요약 표 🧩: 소거 후 불변: 행공간, 영공간 (기저까지 그대로 쓸 수 있음) / 변함: 열공간, 좌영공간 (차원만 보존, 기저는 A 쪽에서 다시 뽑기).
  • [4단계] 선형대수학의 기본정리 1
    • 열공간과 행공간의 차원은 둘 다 r 이다. 영공간과 좌영공간의 차원은 각각 n-r , m-r 이다.
      • 📌 원문 (정리 박스, p.195): 🔗 PDF 위치
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    • 특히 첫 문장이 놀라운 이유: (독립인 열의 개수) = (독립인 행의 개수): 행과 열은 전혀 다른 방향의 벡터인데 개수가 항상 같다! (11 \times 17 행렬에 아무 수나 채워도 성립.)
      • 💡 왜 같은가 (한 줄 논증): 피벗 하나가 피벗 행 하나와 피벗 열 하나를 동시에 만든다. 독립인 행 개수 = 피벗 개수 = 독립인 열 개수.
    • 행공간↔열공간 사이의 1:1 대응: 열공간의 모든 벡터 Ax = b 는 행공간의 정확히 하나의 x 에서 나온다. (두 개라면 A(x - y) = 0 인데 x - y 가 행공간에도 영공간에도 있어 x = y.): 4장 직교성의 예고편.
  • [5단계] 응용 맛보기, 그래프와 결합행렬 (가볍게 읽기)
    • 노드 4개·에지 5개인 그래프의 결합행렬 (incidence matrix) A (5 \times 4, 각 행에 -1, 1): 네 공간이 그래프 언어로 번역된다.
      • \mathbf{N}(A): 상수벡터 (c,c,c,c), 차원 1 → r = n - 1 = 3
      • \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}): 트리(루프 없는 에지들)가 독립인 행 → 차원 3
      • \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}): 루프를 도는 전류들, 차원 m - r = 2 (키르히호프 전류법칙 A^{\mathrm{T}}y = 0)
      • 오일러 공식이 공짜로: (노드) − (에지) + (작은 루프) = n - m + (m - n + 1) = 1.
    • 💡 여기서는 "4공간이 실제 세계(회로·네트워크)에서 각자 의미를 갖는다"는 것만 챙기면 충분하다.
  • [6단계] 랭크 r 행렬 = 랭크 1 행렬 r 개의 합
    • 랭크 1 행렬은 uv^{\mathrm{T}} (열 하나 × 행 하나) 꼴. A = CR 을 열×행으로 풀어 쓰면:
      • A = CR = u_1 v_1^{\mathrm{T}} + u_2 v_2^{\mathrm{T}} + \cdots + u_r v_r^{\mathrm{T}} \qquad (u_i = C\text{의 열},\ v_i^{\mathrm{T}} = R\text{의 행})
    • 💡 "모든 행렬은 랭크 1 조각 r 개로 분해된다". 뒤에서 배울 특잇값 분해(SVD)의 원형이다.

• ❓ 스스로 점검

  • 4가지 기본 부분공간의 이름·정의·사는 곳·차원을 표로 재현하라. #card id:: 6a746749-dc61-4ff5-8b65-bb7bdcc1ddfe
    • 행공간 \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}) / 행들의 결합 / \mathbb{R}^n / r
    • 열공간 \mathbf{C}(A) / 열들의 결합 / \mathbb{R}^m / r
    • 영공간 \mathbf{N}(A) / Ax=0 해 / \mathbb{R}^n / n-r
    • 좌영공간 \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) / A^{\mathrm{T}}y=0 해 / \mathbb{R}^m / m-r.
  • R_0 에서 네 공간의 기저를 각각 어떻게 읽는가? #card id:: 6a746749-68ca-42d3-9942-b1df3ecfa538
    • 행공간: 영행 아닌 r 개 행
    • 열공간: 피벗 열 (단, A 의 원본 피벗 열)
    • 영공간: 특별해 (n-r) 개
    • 좌영공간: R_0^{\mathrm{T}}y = 0 의 해, A 기준으로는 [\,A\ I\,] \to [\,R_0\ E\,] 에서 E 의 마지막 (m-r) 행.
  • 소거에서 보존되는 공간과 변하는 공간은? "A 와 R_0 의 열공간이 같다"가 거짓인 이유는? #card id:: 6a746749-483b-4429-a558-0c80008cd318
    • 보존: 행공간·영공간.
    • 변함: 열공간·좌영공간 (차원만 보존). R_0 의 열은 영행 때문에 끝이 0이지만 A 의 열은 아니라서.
  • "독립인 열의 개수 = 독립인 행의 개수"가 성립하는 이유를 한 줄로.
    • 피벗 하나가 피벗 행과 피벗 열을 동시에 하나씩 만들기 때문 (둘 다 = 피벗 개수 r).
  • 카운팅 정리 두 개를 쓰고 의미를 말하라.
    • r + (n-r) = n : \mathbb{R}^n 을 행공간 차원 + 영공간 차원이 채운다.
    • r + (m-r) = m : \mathbb{R}^m 을 열공간 + 좌영공간이 채운다.
  • 좌영공간이라는 이름의 유래는?
    • A^{\mathrm{T}}y = 0 ⟺ y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}, y 가 A 의 왼쪽에 곱해지는 영공간.
  • 7 \times 9 행렬의 랭크가 5일 때 네 공간의 차원은? #card id:: 6a746749-73b4-466c-9184-08e38f22d32d
    • 행공간 5
    • 열공간 5
    • 영공간 9-5=4
    • 좌영공간 7-5=2
    • (합 = 16 = m + n)

• ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)

  • 문제 1: (a) 7 \times 9 행렬의 랭크가 5일 때 4공간의 차원과 그 합은? (b) 3 \times 4 행렬의 랭크가 3일 때 열공간과 좌영공간은?
    • (a) 5, 5, 4, 2, 합 = 16 = m + n. (b) 열공간 = \mathbb{R}^3 전체 (최대 행 랭크), 좌영공간 = \{0\} (차원 0).
    • 💡 (b)는 "r = m ⟺ 열공간이 꽉 참 ⟺ 좌영공간이 사라짐"의 체험.
  • 문제 3: A = \begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&1&2&4&6 \\ 0&0&0&1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} 의 4공간의 기저를 구하라.
    • 랭크 2. 행공간 기저: R 의 두 행 (0,1,2,3,4), (0,0,0,1,2).
    • 열공간 기저: 피벗 열 = A 의 2열 (1,1,0) 과 4열 (3,4,1).
    • 영공간 기저 (자유변수 x_1, x_3, x_5): (1,0,0,0,0),\ (0,-2,1,0,0),\ (0,2,0,-2,1).
    • 좌영공간 기저: (1, -1, 1). 좌영공간의 벡터 y 는 "A 의 행들을 y_1, y_2, y_3 배 해서 더하면 영벡터가 되는 계수 묶음"이다 (y^{\mathrm{T}}A = 0). 구하는 길이 두 가지다.
      • 길 ①, 정공법: A^{\mathrm{T}}y = 0, 즉 위 계수 조건을 성분(열)별로 쓴다. 0이 아닌 열만 보면 된다:
        • 2열: y_1 + y_2 = 0 → y_2 = -y_1 (3열은 이것의 2배라 같은 식)
        • 4열: 3y_1 + 4y_2 + y_3 = 0 → 3y_1 - 4y_1 + y_3 = 0 → y_3 = y_1
        • 5열: 4y_1 + 6y_2 + 2y_3 = 4y_1 - 6y_1 + 2y_1 = 0 ✓ (자동 만족)
        • → y = y_1 (1, -1, 1). 기저는 (1, -1, 1) 하나 (m - r = 3 - 2 = 1 개, 차원과 일치 ✓).
      • 길 ②, 소거 기록 재활용 (E 가 갑자기 나오는 이유): 문제가 준 분해 A = LU 를 뒤집으면 L^{-1}A = U, 즉 EA = U (E = L^{-1}). 이 식을 행 단위로 읽으면 "E 의 각 행 = A 의 행들을 결합해 U 의 그 행을 만드는 계수". 그런데 U 의 3행이 영행이므로, E 의 3행이 정확히 "A 의 행 결합으로 0 만들기"의 계수, 즉 좌영공간 기저다.
        • ⚠️ E 의 행 전부가 답인 게 아니다. U 의 영행에 대응하는 마지막 m - r 개 행만 좌영공간에 속한다 (여기선 3행 하나). 위쪽 행들은 0 아닌 행을 만드는 계수라 좌영공간이 아니다.
        • E 의 3행 계산은 역행렬 공식 없이 소거를 되짚으면 된다. L 의 각 행이 말하는 것: A 의 1행 = u_1, 2행 = u_1 + u_2, 3행 = u_2 + u_3 (u_i 는 U 의 행).
        • 거꾸로 풀면: u_2 = \text{2행} - u_1 = \text{2행} - \text{1행}, 그리고 u_3 = \text{3행} - u_2 = \text{1행} - \text{2행} + \text{3행}.
        • u_3 은 영행이므로 1행 − 2행 + 3행 = 0 → 계수 (1, -1, 1). 길 ①과 같은 답 ✓.
      • 검산: 1행 − 2행 + 3행 = (0,0,0,0,0) ✓.
    • 💡 본문 「소거해도 안 변하나?」의 [\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,] 방법과 같은 원리다: I 를 옆에 붙여 소거하는 것은 행 결합 계수(E)를 자동으로 받아 적는 장치일 뿐이고, 이 문제는 L 을 이미 줬으니 E = L^{-1} 에서 마지막 행을 직접 읽은 것.
  • 문제 11 (중요한 문제): 랭크 r 인 m \times n 행렬 A 에 대해 Ax = b 의 해가 존재하지 않는다면: (a) m, n, r 의 부등식 전부? (b) A^{\mathrm{T}}y = 0 에 y \neq 0 인 해가 있음을 어떻게 아는가?
    • (a) r < m (해가 없으려면 열공간이 \mathbb{R}^m 을 못 채워야 함), 그리고 항상 r \le n. (m 과 n 사이 관계는 알 수 없음.)
    • (b) 좌영공간의 차원 = m - r > 0 → 0 아닌 벡터가 반드시 존재.
    • 💡 "해가 없다"는 정보 하나가 좌영공간의 존재를 강제한다. 4공간이 서로 연동되어 있다는 감각.
  • 문제 24 (중요한 문제): 벡터 d 가 4공간 중 어디에 있으면 A^{\mathrm{T}}y = d 의 해가 존재하는가? 어떤 공간이 영벡터만 포함하면 그 해가 유일한가? id:: 24962f36-c56d-4fd6-bba2-6e7226e647f9
    • 존재: d \in \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}}), 즉 d 가 A 의 행공간에 있을 때. (A^{\mathrm{T}} 의 열공간 = A 의 행공간이므로 3.1의 "해 존재 ⟺ 우변이 열공간에" 를 A^{\mathrm{T}} 에 적용한 것.)
    • 유일: \mathbf{N}(A^{\mathrm{T}}) (좌영공간) = \{0\} 일 때.
    • 💡 모든 해 존재/유일성 문제는 "열공간에 있나 / 영공간이 0뿐인가"로 환원된다. 대상이 A^{\mathrm{T}} 면 행공간/좌영공간으로 이름만 바뀔 뿐.