Logseq/Major Study/pages/3.5 4가지 기본 부분공간의 차원.md

deck:: Logseq/전공공부/선형대수학

- ### 핵심 개념
	- **이 절의 목표**: 3장의 대단원. 행렬 하나가 거느리는 부분공간이 정확히 **4개** 있고, 랭크 $r$ **하나**가 네 공간의 차원을 전부 결정한다는 것, **선형대수학의 기본정리 1**. 새 계산법은 없다. 이미 아는 소거 결과($R_0$)에서 네 공간을 **읽어내는** 절이다.
		- 📌 원문 (3.5 서두 박스: 차원과 소거 불변성, p.190): [🔗 PDF 위치](((6a721d15-4d6e-4878-8085-4ac8ae3ae6a0)))
			- ![3.5 서두: 4공간의 차원, 소거가 바꾸는 것 (p.190)](../assets/3장_p190_3.5서두_4공간_차원_박스.png)
	- **[1단계] 출연진 소개, 4가지 기본 부분공간** 🧩
		- | 공간 | 정의 | 사는 곳 | 차원 |
		  | --- | --- | --- | --- |
		  | ❶ 행공간 $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ | 행들의 모든 선형결합 | $\mathbb{R}^n$ | $r$ |
		  | ❷ 열공간 $\mathbf{C}(A)$ | 열들의 모든 선형결합 | $\mathbb{R}^m$ | $r$ |
		  | ❸ 영공간 $\mathbf{N}(A)$ | $Ax = 0$ 의 해 전체 | $\mathbb{R}^n$ | $n - r$ |
		  | ❹ 좌영공간 $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ | $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해 전체 | $\mathbb{R}^m$ | $m - r$ |
		- 💡 기억법: $n$ **의 세계(입력·미지수)에 행공간과 영공간**이 살고, $m$ **의 세계(출력·우변)에 열공간과 좌영공간**이 산다. 각 세계에서 두 공간의 차원을 더하면 세계 전체 차원이 된다:
			- $$r + (n - r) = n \qquad r + (m - r) = m \qquad \text{(카운팅 정리)}$$
		- **왜 "좌"영공간인가**: $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 을 전치하면 $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$, $y$ 가 $A$ 의 **왼쪽**에서 곱해지는 영공간이라서.
		- ![그림 3.4, 큰 그림: 4가지 기본 부분공간의 차원 (p.193)](../assets/3장_p193_그림3-4_큰그림_4가지_부분공간.png)
			- (p.193, 그림 3.4, 이 "큰 그림"은 4장에서 직교성까지 추가되어 완성된다)
	- **[2단계]** $R_0$ **에서 네 공간 읽어내기**: 구체 예제 하나로 전부 ($3 \times 5$, 랭크 2)
		- $$R_0 = \begin{bmatrix} \mathbf{1}&3&5&\mathbf{0}&7 \\ 0&0&0&\mathbf{1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix} \qquad \text{피벗 행: 1, 2행 / 피벗 열: 1, 4열}$$
		- ❶ **행공간** (차원 2): 기저 = **영행이 아닌 두 행** $(1,3,5,0,7), (0,0,0,1,2)$. 피벗 위치만 보면 $I$ 가 보이므로 이 두 행은 독립이고, 3행(영행)은 아무 기여가 없다.
		- ❷ **열공간** (차원 2): 기저 = **피벗 열** 1열 $(1,0,0)$ 과 4열 $(0,1,0)$. 나머지 (자유) 열은 전부 피벗 열의 결합: 2열 = 3×(1열), 3열 = 5×(1열), 5열 = 7×(1열) + 2×(4열).
		- ❸ **영공간** (차원 $n - r = 3$): 기저 = 자유변수 $x_2, x_3, x_5$ 의 **특별해 3개**:
			- $$s_2 = (-3,1,0,0,0), \quad s_3 = (-5,0,1,0,0), \quad s_5 = (-7,0,0,-2,1)$$
		- ❹ **좌영공간** (차원 $m - r = 1$): $R_0^{\mathrm{T}}y = 0$ → 처음 두 성분은 0이어야 하고 $y_3$ 은 자유 → 기저 $(0, 0, 1)$. 💡 직관: $R_0$ 의 **영행 개수만큼** "행들의 결합으로 0을 만드는 방법"이 있다.
	- **[3단계]** $A$ **로 돌아오기, 무엇이 보존되고 무엇이 변하는가** (⚠️ 이 절 최대의 함정)
		- 소거($A \to R_0$)는 **행 연산**이다. 그 결과:
			- **행공간: 그대로다.** 행 연산 = 행들의 결합이므로 행들이 만드는 공간 자체는 불변. 기저는 $R_0$ 의 영행 아닌 $r$ 개 행 (또는 $A$ 에서 피벗 행 위치의 행들).
			- **영공간: 그대로다.** 소거는 $Ax=0$ 의 해를 안 바꾼다 (3.2절). 기저 = 특별해들.
			- ⚠️ **열공간: 달라진다!** "$A$ 와 $R_0$ 는 동일한 열공간을 갖는다"는 **거짓**: $R_0$ 의 열은 아래쪽이 0으로 찌그러졌지만 $A$ 의 열은 아니다. 🔢 위 예의 원본 $A$ 에 3행 $(1,3,5,1,9)$ 가 있었다면 $\mathbf{C}(A)$ 는 3번째 성분이 0이 아닌 벡터를 포함하지만 $\mathbf{C}(R_0)$ 는 아니다.
			- 그러나 **차원은 같다** ($= r$): 열들 사이의 선형관계($Ax = 0$ ⟺ $R_0 x = 0$)가 보존되므로, "어느 열이 독립인가"는 동일 → $A$ **의 피벗 열(원본!)이** $\mathbf{C}(A)$ **의 기저**.
			- 좌영공간도 달라진다 (차원 $m - r$ 은 동일). 기저를 원하면: $[\,A\ \ I\,]$ 를 $[\,R_0\ \ E\,]$ 로 소거했을 때 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 개 행 ("어떤 행 결합이 영행을 만들었는지"의 기록).
		- 요약 표 🧩: 소거 후 **불변**: 행공간, 영공간 (기저까지 그대로 쓸 수 있음) / **변함**: 열공간, 좌영공간 (차원만 보존, 기저는 $A$ 쪽에서 다시 뽑기).
	- **[4단계] 선형대수학의 기본정리 1**
		- **열공간과 행공간의 차원은 둘 다** $r$ **이다. 영공간과 좌영공간의 차원은 각각** $n-r$ **,** $m-r$ **이다.**
			- 📌 원문 (정리 박스, p.195): [🔗 PDF 위치](((6a721d23-54c9-4769-849c-79f5b9355467)))
				- ![선형대수학의 기본정리 1 (p.195)](../assets/3장_p195_기본정리1_박스.png)
		- 특히 첫 문장이 놀라운 이유: **(독립인 열의 개수) = (독립인 행의 개수)**: 행과 열은 전혀 다른 방향의 벡터인데 개수가 항상 같다! ($11 \times 17$ 행렬에 아무 수나 채워도 성립.)
			- 💡 왜 같은가 (한 줄 논증): 피벗 하나가 피벗 행 하나와 피벗 열 하나를 **동시에** 만든다. 독립인 행 개수 = 피벗 개수 = 독립인 열 개수.
		- 행공간↔열공간 사이의 1:1 대응: 열공간의 모든 벡터 $Ax = b$ 는 행공간의 **정확히 하나의** $x$ 에서 나온다. (두 개라면 $A(x - y) = 0$ 인데 $x - y$ 가 행공간에도 영공간에도 있어 $x = y$.): 4장 직교성의 예고편.
	- **[5단계] 응용 맛보기, 그래프와 결합행렬** (가볍게 읽기)
		- 노드 4개·에지 5개인 그래프의 **결합행렬** (incidence matrix) $A$ ($5 \times 4$, 각 행에 $-1, 1$): 네 공간이 그래프 언어로 번역된다.
			- $\mathbf{N}(A)$: 상수벡터 $(c,c,c,c)$, 차원 1 → $r = n - 1 = 3$
			- $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$: **트리**(루프 없는 에지들)가 독립인 행 → 차원 3
			- $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$: **루프**를 도는 전류들, 차원 $m - r = 2$ (키르히호프 전류법칙 $A^{\mathrm{T}}y = 0$)
			- 오일러 공식이 공짜로: (노드) − (에지) + (작은 루프) $= n - m + (m - n + 1) = 1$.
		- 💡 여기서는 "4공간이 실제 세계(회로·네트워크)에서 각자 의미를 갖는다"는 것만 챙기면 충분하다.
	- **[6단계] 랭크** $r$ **행렬 = 랭크 1 행렬** $r$ **개의 합**
		- 랭크 1 행렬은 $uv^{\mathrm{T}}$ (열 하나 × 행 하나) 꼴. $A = CR$ 을 열×행으로 풀어 쓰면:
			- $$A = CR = u_1 v_1^{\mathrm{T}} + u_2 v_2^{\mathrm{T}} + \cdots + u_r v_r^{\mathrm{T}} \qquad (u_i = C\text{의 열},\ v_i^{\mathrm{T}} = R\text{의 행})$$
		- 💡 "모든 행렬은 랭크 1 조각 $r$ 개로 분해된다". 뒤에서 배울 특잇값 분해(SVD)의 원형이다.
- ### ❓ 스스로 점검
	- 4가지 기본 부분공간의 이름·정의·사는 곳·차원을 표로 재현하라. #card
	  id:: 6a746749-dc61-4ff5-8b65-bb7bdcc1ddfe
		- 행공간 $\mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$ / 행들의 결합 / $\mathbb{R}^n$ / $r$
		- 열공간 $\mathbf{C}(A)$ / 열들의 결합 / $\mathbb{R}^m$ / $r$
		- 영공간 $\mathbf{N}(A)$ / $Ax=0$ 해 / $\mathbb{R}^n$ / $n-r$
		- 좌영공간 $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ / $A^{\mathrm{T}}y=0$ 해 / $\mathbb{R}^m$ / $m-r$.
	- $R_0$ 에서 네 공간의 기저를 각각 어떻게 읽는가? #card
	  id:: 6a746749-68ca-42d3-9942-b1df3ecfa538
		- 행공간: 영행 아닌 $r$ 개 행
		- 열공간: 피벗 열 (단, $A$ **의** 원본 피벗 열)
		- 영공간: 특별해 $(n-r)$ 개
		- 좌영공간: $R_0^{\mathrm{T}}y = 0$ 의 해, $A$ 기준으로는 $[\,A\ I\,] \to [\,R_0\ E\,]$ 에서 $E$ 의 마지막 $(m-r)$ 행.
	- 소거에서 보존되는 공간과 변하는 공간은? "$A$ 와 $R_0$ 의 열공간이 같다"가 거짓인 이유는? #card
	  id:: 6a746749-483b-4429-a558-0c80008cd318
		- 보존: 행공간·영공간.
		- 변함: 열공간·좌영공간 (차원만 보존). $R_0$ 의 열은 영행 때문에 끝이 0이지만 $A$ 의 열은 아니라서.
	- "독립인 열의 개수 = 독립인 행의 개수"가 성립하는 이유를 한 줄로.
		- 피벗 하나가 피벗 행과 피벗 열을 동시에 하나씩 만들기 때문 (둘 다 = 피벗 개수 $r$).
	- 카운팅 정리 두 개를 쓰고 의미를 말하라.
		- $r + (n-r) = n$ : $\mathbb{R}^n$ 을 행공간 차원 + 영공간 차원이 채운다.
		- $r + (m-r) = m$ : $\mathbb{R}^m$ 을 열공간 + 좌영공간이 채운다.
	- 좌영공간이라는 이름의 유래는?
		- $A^{\mathrm{T}}y = 0$ ⟺ $y^{\mathrm{T}}A = 0^{\mathrm{T}}$, $y$ 가 $A$ 의 왼쪽에 곱해지는 영공간.
	- $7 \times 9$ 행렬의 랭크가 5일 때 네 공간의 차원은? #card
	  id:: 6a746749-73b4-466c-9184-08e38f22d32d
		- 행공간 5
		- 열공간 5
		- 영공간 $9-5=4$
		- 좌영공간 $7-5=2$
		- (합 = $16 = m + n$)
- ### ✏️ 연습문제 풀이 (솔루션 참고)
	- **문제 1**: (a) $7 \times 9$ 행렬의 랭크가 5일 때 4공간의 차원과 그 합은? (b) $3 \times 4$ 행렬의 랭크가 3일 때 열공간과 좌영공간은?
		- (a) $5, 5, 4, 2$, 합 $= 16 = m + n$. (b) 열공간 = $\mathbb{R}^3$ 전체 (최대 행 랭크), 좌영공간 = $\{0\}$ (차원 0).
		- 💡 (b)는 "$r = m$ ⟺ 열공간이 꽉 참 ⟺ 좌영공간이 사라짐"의 체험.
	- **문제 3**: $A = \begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&1&2&4&6 \\ 0&0&0&1&2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&1&2&3&4 \\ 0&0&0&1&2 \\ 0&0&0&0&0 \end{bmatrix}$ 의 4공간의 기저를 구하라.
		- 랭크 2. 행공간 기저: $R$ 의 두 행 $(0,1,2,3,4), (0,0,0,1,2)$.
		- 열공간 기저: 피벗 열 = $A$ **의** 2열 $(1,1,0)$ 과 4열 $(3,4,1)$.
		- 영공간 기저 (자유변수 $x_1, x_3, x_5$): $(1,0,0,0,0),\ (0,-2,1,0,0),\ (0,2,0,-2,1)$.
		- 좌영공간 기저: $(1, -1, 1)$. 좌영공간의 벡터 $y$ 는 "$A$ 의 행들을 $y_1, y_2, y_3$ 배 해서 더하면 영벡터가 되는 계수 묶음"이다 ($y^{\mathrm{T}}A = 0$). 구하는 길이 두 가지다.
			- **길 ①, 정공법**: $A^{\mathrm{T}}y = 0$, 즉 위 계수 조건을 성분(열)별로 쓴다. 0이 아닌 열만 보면 된다:
				- 2열: $y_1 + y_2 = 0$ → $y_2 = -y_1$ (3열은 이것의 2배라 같은 식)
				- 4열: $3y_1 + 4y_2 + y_3 = 0$ → $3y_1 - 4y_1 + y_3 = 0$ → $y_3 = y_1$
				- 5열: $4y_1 + 6y_2 + 2y_3 = 4y_1 - 6y_1 + 2y_1 = 0$ ✓ (자동 만족)
				- → $y = y_1 (1, -1, 1)$. 기저는 $(1, -1, 1)$ 하나 ($m - r = 3 - 2 = 1$ 개, 차원과 일치 ✓).
			- **길 ②, 소거 기록 재활용** ($E$ 가 갑자기 나오는 이유): 문제가 준 분해 $A = LU$ 를 뒤집으면 $L^{-1}A = U$, 즉 $EA = U$ ($E = L^{-1}$). 이 식을 행 단위로 읽으면 "$E$ 의 각 행 = $A$ 의 행들을 결합해 $U$ 의 그 행을 만드는 계수". 그런데 $U$ 의 3행이 영행이므로, $E$ 의 3행이 정확히 "$A$ 의 행 결합으로 0 만들기"의 계수, 즉 좌영공간 기저다.
				- ⚠️ $E$ 의 행 **전부**가 답인 게 아니다. $U$ 의 **영행에 대응하는 마지막** $m - r$ **개 행만** 좌영공간에 속한다 (여기선 3행 하나). 위쪽 행들은 0 아닌 행을 만드는 계수라 좌영공간이 아니다.
				- $E$ 의 3행 계산은 역행렬 공식 없이 소거를 되짚으면 된다. $L$ 의 각 행이 말하는 것: $A$ 의 1행 $= u_1$, 2행 $= u_1 + u_2$, 3행 $= u_2 + u_3$ ($u_i$ 는 $U$ 의 행).
				- 거꾸로 풀면: $u_2 = \text{2행} - u_1 = \text{2행} - \text{1행}$, 그리고 $u_3 = \text{3행} - u_2 = \text{1행} - \text{2행} + \text{3행}$.
				- $u_3$ 은 영행이므로 1행 − 2행 + 3행 $= 0$ → 계수 $(1, -1, 1)$. 길 ①과 같은 답 ✓.
			- 검산: 1행 − 2행 + 3행 $= (0,0,0,0,0)$ ✓.
		- 💡 본문 「소거해도 안 변하나?」의 $[\,A\ \ I\,] \to [\,R_0\ \ E\,]$ 방법과 같은 원리다: $I$ 를 옆에 붙여 소거하는 것은 행 결합 계수($E$)를 자동으로 받아 적는 장치일 뿐이고, 이 문제는 $L$ 을 이미 줬으니 $E = L^{-1}$ 에서 마지막 행을 직접 읽은 것.
	- **문제 11** (중요한 문제): 랭크 $r$ 인 $m \times n$ 행렬 $A$ 에 대해 $Ax = b$ 의 해가 존재하지 않는다면: (a) $m, n, r$ 의 부등식 전부? (b) $A^{\mathrm{T}}y = 0$ 에 $y \neq 0$ 인 해가 있음을 어떻게 아는가?
		- (a) $r < m$ (해가 없으려면 열공간이 $\mathbb{R}^m$ 을 못 채워야 함), 그리고 항상 $r \le n$. ($m$ 과 $n$ 사이 관계는 알 수 없음.)
		- (b) 좌영공간의 차원 $= m - r > 0$ → 0 아닌 벡터가 반드시 존재.
		- 💡 "해가 없다"는 정보 하나가 좌영공간의 존재를 강제한다. 4공간이 서로 연동되어 있다는 감각.
	- **문제 24** (중요한 문제): 벡터 $d$ 가 4공간 중 어디에 있으면 $A^{\mathrm{T}}y = d$ 의 해가 존재하는가? 어떤 공간이 영벡터만 포함하면 그 해가 유일한가?
	  id:: 24962f36-c56d-4fd6-bba2-6e7226e647f9
		- 존재: $d \in \mathbf{C}(A^{\mathrm{T}})$, 즉 $d$ 가 $A$ **의 행공간**에 있을 때. ($A^{\mathrm{T}}$ 의 열공간 = $A$ 의 행공간이므로 3.1의 "해 존재 ⟺ 우변이 열공간에" 를 $A^{\mathrm{T}}$ 에 적용한 것.)
		- 유일: $\mathbf{N}(A^{\mathrm{T}})$ (좌영공간) $= \{0\}$ 일 때.
		- 💡 모든 해 존재/유일성 문제는 "열공간에 있나 / 영공간이 0뿐인가"로 환원된다. 대상이 $A^{\mathrm{T}}$ 면 행공간/좌영공간으로 이름만 바뀔 뿐.